Note 4. la fonction exponentielle

En mathématique 

Une fonction exponentielle est une fonction mathématique, une formule qui à chaque valeur de x associe une valeur de y, résultat du calcul de la formule appliquée à la valeur de x.

Nous avons, de manière générale.

(2.23)

Cette fonction est dite exponentielle si elle suit la pente de la fonction verte sur le schéma de Wikipédia, c'est à dire si elle peut s'écrire sous la forme

(2.24)

Avec k réel >1.

La pente rouge représente une fonction dite linéaire (type  ), la pente bleue représente une fonction cubique (type ).

En économie

Si on l'admet après K. Marx10 que l'économie capitaliste fonctionne par cycles courts, ils se décomposent comme suit si nous prenons le point de vue du capital:

- Nous avons d'abord un capital C

- Ce capital se ventile entre des investissements (les consommations intermédiaires), des marchandises M et du salaire individuel ou socialisé pour produire une marchandise M'

- La marchandise est vendue pour son prix qui exprime la nouvelle valeur du capital acquise au terme du processus, C'

Nous avons un cycle court du capital genre C-M-M'-C'.

En admettant que à chaque cycle court le capital thésaurise une partie, mette une petite partie de ses bénéfices (C'-C) dans un bas de laine qu'il ne dépense pas, nous devons considérer ce qu'il se passe sur un temps long.

Mettons que le taux d'épargne, d'accumulation du capital sur un cycle soit T, nous aurons, à chaque cycle un capital thésaurisé égale à ce taux d'accumulation multiplié par le bénéfice (C'-C). Soit A, l'accumulation, il vient


(2.25)

Comme cette opération se répète à chaque cycle, nous avons, pour un cycle n,

(2.26)

Pour chaque cycle, nous avons la différence entre le capital final et le capital final, l'accumulation qui vaut le capital du cycle précédent multiplié par le taux de profit, lui-même multiplié par le taux d'accumulation de cette différence.

Il convient de souligner que le taux de profit dont nous parlons ici est le taux de profit du point de vue du capital. Ce taux de profit est différent si l'on se place du point de vue du travail, il faut alors parler de surtravail. En désignant par P la production de profit économique par unité de temps, nous avons

(2.27)

ou, encore, en se référant à un capital initial quelconque,

(2.28)

Ce qui, par définition, est une fonction exponentielle à condition que le taux de profit soit strictement positif (facteur P strictement plus grand que 1), qu'il y ait accumulation (facteur T plus grand ou égal à 1) et que le capital initial soit non nul.

Comme on imagine mal un investisseur ne rien investir au départ et faire travailler pour rien, sans bénéfice aucun ni accumulation aucune, les conditions au caractère exponentiel de la fonction sont certaines si le cycle est viable du point de vue de l’investisseur.

Par contre, le capital produit, la valeur produite par le travail ne suit pas une courbe exponentielle. Nous avons à chaque cycle, des dépenses de capital qui valent les salaires plus les investissements, plus les frais, plus la partie discrétionnaire du capital accumulé.

Ces dépenses nourriront immanquablement la valeur ajoutée d'entreprises diverses et variées. C'est dire que la valeur produite vaut le capital réalisé : s'il n'y a pas de dépense pour acheter des choses produites, elles ne peuvent acquérir de valeur, elles ne peuvent être reconverties en capital et ne correspondent à rien du point de vue de la valeur produite.

Si le propriétaire investit dans les infrastructures pour être plus productif que la concurrence, dans un premier temps, il pourra comprimer les salaires (et, au passage empocher la différence) puisque les gains de productivité seront absorbés par les dividendes. Dans un deuxième temps, la concurrence va adopter les mêmes pratiques, ce qui contraindra le propriétaire à baisser ses prix. Finalement, le propriétaire aura fait produire plus de biens et de service mais ses employés auront généré une valeur ajoutée inchangée.

La différence entre les deux courbes, capital accumulé et capital réalisé crée des cycles périodiques au terme desquels il y a une nécessaire destruction de valeur accumulée. Cette destruction peut prendre bien des formes: guerre, crise immobilière, faillite bancaires, etc.

Pour augmenter la valeur du capital réalisé, il faut augmenter les salaires, notamment les salaires sociaux. Sauf à être elle aussi exponentielle - proportionnelle à la courbe d'accumulation - cette augmentation salariale ne suffit pas à surmonter la contradiction de l'accumulation capitalistique, de son caractère exponentiel. Pour lever cette contradiction, il faut qu'il n'y ait plus aucune accumulation non réalisée, non dépensée, ce qui impliquerait que la propriété disparaîtrait en tant que source de profit, ce qui impliquerait de facto une socialisation des moyens de production.